Après avoir débuté sa carrière dans le karting en 2004, Mueller est passé à la monoplace en 2008 avec la Formule Renault. Ici, le jeune pilote suisse s'est classé premier de la compétition suisse de Formule Renault 2009 avec Jenzer Motorsport après avoir décroché un podium lors de chacune des 12 courses.

En 2010, Mueller est passé au GP3, poursuivant ainsi sa relation avec Jenzer. Il a remporté sa première victoire dans cette catégorie lors de la troisième manche de la saison à Valence avant de terminer la saison troisième du classement général derrière Robert Wickens et l'éventuel champion Esteban Gutierrez.

En 2014, Mueller a ajouté la série allemande DTM à son portefeuille de courses après avoir décroché un drive avec l'Audi Sport Team Rosberg, une série dans laquelle il est resté depuis lors. Entre 2014 et son entrée en Formule E, Mueller a connu une carrière de pilote variée, partageant son temps entre le DTM, le Rallycross, le GT et le Stock Car.

Avant la saison 2017/18, Mueller a assumé les fonctions d'essais et de réserve pour Audi Sport ABT Schaeffler, faisant ses débuts en Formule E lors des essais officiels pour les recrues à Marrakech en janvier 2018. En tête des feuilles de temps au cours de la séance, Mueller a répété l'exploit lors du même test l'année suivante.

Après avoir travaillé à plein temps pour la campagne 2018/19 de Dragon, Mueller a rejoint son compatriote Brendon Hartley pour la sixième saison de la série, en lice jusqu'à l'E-Prix de Berlin. La campagne suivante, il a terminé une demi-saison avec l'équipe, décrochant la deuxième place à Valence pour son premier podium et une médaille d'argent en Formule E.